Может ли персонаж по рождению относится к одной Партии, но потом перейти в другую? Повлияет ли это насильно на место проживания?

Может. Он может даже контактировать с несколькими Партиями, состоя только в одной из них или не состоя ни в одной вообще. Хотя это, конечно. требует объяснения.
Жить можно на самом деле, где угодно. Но не всегда комфортно. И с большими ресурсами и деньгами выбор может пасть на любой район, в тот момент как скромные финансовые возможности очевидно не позволят получить жилплощадь в развитых и дорогих.

Известны ли в нынешнем мире былые известные произведения искусства прошлого (музыка, литература, кино, картины, скульптуры и т.п.)? В каком виде их можно застать или как о них можно узнать в печальном настоящем?

Известно то, что хотя бы в теории можно было сохранить в письменном, изобразительном или устном виде. Могли выжить некоторые носители с творческой информацией, яркий пример - кассеты. Да, они даже на даты Коллапса кажутся  «мамонтами», но все не так однозначно. В нашем (авторов) 21-ом веке на пленке до сих пор хранится очень многое, надежная штука. Убедительные потомки наших пленок или их аналоги наверняка дожили до Коллапса.
Сохранены некоторые не оцифрованные тексты, позже переписаны и распространены. Перерисовки известных изображений тоже известны. Могли быть спасены ноты. Сюжет, разумеется, не будет диктовать, можете ли вы знать про Пизанскую Башню из прошлого, не зная о Моне Лизе. Можете знать, можете не знать - смотря, к каким развлечениям был доступ в семье, «лягушатнике», на работе.
Утеряны огромные объему научной информации, технологической - это сюжетный факт. Но то, что какой-то ребенок смог спасти и передать потом внукам иллюстрированную энциклопедию «Достопримечательности Индии» никак этому не мешает. В первую очередь эта логика работает для удобства авторов, хотя официально безнадежно утеряны и даже упоминания многих предметом искусства, естественно.

В общем, спокойно слушайте попытки перепеть Свадьбу Фигаро, вспоминайте Трех мушкетеров, рисуйте Смурфиков. Но оригинал статуи «Давид» Донателло, конечно же, не сохранен! К тому же, в Оплоте нет кино (хотя о возможности его хоть как-то снимать знают), хотя записывается музыка.

Есть ли в Оплоте тюрьма или психиатрическая лечебница? Что случается с преступниками?

Законы Оплота предполагают возможность домашнего ареста или общественных работ. Тюрьма же очень маленькая и используется в особых случаях, когда серьезного преступника почему-то не хочется казнить или выбросить за Стену.
Буквально «психушек» в Оплоте нет, хотя есть отделения в больницах Центра или у частников. И будем честны друг с другом, неизлечимый случай и в этой ситуации лишь занимает место, которое нужнее излечимым. Пожизненному заточению недееспособного (и тем более опасного) гражданина будут искать милосердную альтернативу.

Какие домашние питомцы разрешены внутри города?

Стандартный набор: собаки, кошки, канарейки, хомяки...
Но из-за бесконечных проверок среднего здоровья  даже у городских голубей, куда уж домашних животных - по ним прямо запросы приходят, содержать питомцев в принципе не является чем-то модным. Очень дискомфортное занятие, хотя некоторые терпят проблемы ради собаки-боевого товарища или из непреоборимой любви к морским свинкам.
Монстров и диких зверей, даже прирученных, в город приводить нельзя. За обычного котенка из-за пределов Оплота будете очень долго отдуваться, даже если в итоге сочтут обычным и каким-то чудом разрешат. Кстати, а где вы домашнего кота снаружи найдете...? В общем, проще повеситься. Ходят слухи, что какая-то ученая лет пятьдесят назад грозилась сброситься со стены, если ей не разрешат пронести ее вполне здорового хомяка.
Созданные в лаборатории мутанты-компаньоны требуют отдельных доступов.